樹液が出すぎて弱るというよりは、
雑菌の侵入を防ぐための樹液ですのでそれほど気にされなくてよいです。
その意味では剪定ばさみを事前に消毒した上で使用したほうが賢明です。
もし気になるようでしたら、ダコニールのような殺菌剤を湿布するなど。

通常、完全な枯れ枝であれば樹液すら出ません。
（切り口が緑色であれば生きた枝です）

まずできることは新たな”芽吹き”がないかを
毎日隈なくチェックすることです。
逆に落葉が続くと本調子ではないですね。

なるべく冷やさないように管理を継続されてみてください。

ご返信ありがとうございます。新枝は出ておりません。また書き忘れましたが、以前枯れ枝やカビている枝を剪定したのですが、その後樹液がかなり出て株が弱る原因になっていないか懸念しております

未発根ではないようですので、
夏の時期は過度に温めなくても大丈夫です。
まずは根腐れの見極めが先決かと思います。

パネルヒーターやヒートマットなどを使用するのであれば、
緩やかに鉢が温まる程度に調整されたほうがよいです。
あまりに熱すぎると鉢底の根まで朽ちる可能性があります。

ちなみに”新枝”が生えた兆候（※根張り順調の目安）はありますか？